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B样条几何造型本科毕业论文写作指南：从选题到答辩全流程解析
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b样条几何造型本科毕业论文写作指南
写作准备与方向确定
在开始写作前，首先需要明确b样条几何造型的研究背景及其在计算机图形学、CAD/CAM等领域的重要性。选题时应结合本科生的知识水平，选择具有一定创新性但不过于复杂的主题，例如b样条曲线曲面的局部修改算法、参数化优化方法等。
- 选题或立意的原则：聚焦于b样条几何造型的理论或应用层面，确保主题具有明确的研究价值和技术可行性。
- 收集资料：查阅国内外关于b样条的经典文献（如Piegl和Tiller的著作）以及近年来的研究论文，重点关注算法实现、优化技术和实际案例。
- 规划结构：建议采用“问题提出-理论分析-实验验证-结论”的框架，确保逻辑清晰。
- 目标受众：面向本科答辩委员会，需兼顾技术深度与表述通俗性。
写作思路与技巧
写作时需注意理论与实践的平衡，避免纯数学推导或单纯代码罗列。
- 逻辑结构：引言部分应明确研究问题；理论部分需严谨定义b样条基函数、节点向量等核心概念；实验部分需说明数据来源和对比基准。
- 段落安排：每个技术点独立成段，通过“总-分-总”形式展开，例如先说明算法原理，再分步骤描述实现细节。
- 语言技巧：使用准确的专业术语（如de Boor算法、控制顶点），对复杂公式辅以文字解释。
- 主题一致性：所有内容需服务于“几何造型”这一核心，避免偏离到泛泛的图形学理论。
核心观点与创新表达
本科生论文的创新点可从以下方向挖掘：
- 理论方向：分析不同节点配置对曲面光顺性的影响，提出改进策略。
- 应用方向：将b样条用于特定场景（如汽车曲面设计），结合具体案例验证效果。
- 算法优化：针对现有b样条插值算法的效率问题，设计并行化或近似计算方案。
- 跨学科视角：探讨b样条在3D打印路径规划等新兴领域的应用潜力。
修改完善与后续应用
完成初稿后需重点检查：
- 数学符号是否全书统一，所有公式是否编号引用。
- 实验数据是否具有统计学意义，图表是否清晰标注。
- 答辩准备：制作突出算法对比效果的PPT，预演可能的技术提问（如与NURBS的区别）。
- 后续延伸：可将核心章节改写为期刊论文，或开发配套的交互式演示程序。
常见误区与注意事项
需特别注意以下问题：
- 混淆b样条与Bezier曲线的特性差异，需在理论基础部分明确区分。
- 实验环节仅展示成功案例，未分析算法局限性。
- 代码附录过长，应精简核心算法片段并添加详细注释。
- 参考文献陈旧，建议至少引用3-5篇近五年SCI/EI论文。
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B样条曲线在几何造型中的应用研究
摘要
几何造型作为计算机辅助设计与制造领域的核心技术，其数学基础的完善与造型能力的拓展始终是学术界与工业界关注的焦点。Ｂ样条曲线凭借其局部支撑性、连续可调性以及强大的形状表达能力，已成为几何造型中描述复杂曲线与曲面的关键数学工具。本研究系统梳理了Ｂ样条曲线的数学理论基础，包括其定义、性质以及节点矢量的构造方法，为后续应用研究奠定严谨的数学根基。在此基础上，重点探讨了Ｂ样条曲线在几何造型实践中涉及的若干关键技术，如曲线拟合、光顺处理以及形状优化等核心问题。通过理论分析与实例验证，研究表明，合理运用Ｂ样条理论能够显著提升几何模型的光顺质量与造型灵活性，为复杂产品的数字化设计提供有效的解决方案。该研究不仅深化了对Ｂ样条理论在造型中内在机制的理解，也对推动高端制造装备的创新设计具有重要的理论价值与应用前景。未来的工作将集中于探索Ｂ样条与其他先进造型技术的融合，以应对更为复杂的工业设计挑战。
关键词：B样条曲线；几何造型；曲线曲面建模；计算机辅助设计；造型技术
Abstract
Geometric modeling, as a core technology in the field of computer-aided design and manufacturing, has consistently seen its mathematical foundation refined and its modeling capabilities expanded, remaining a key focus for both academia and industry. B-spline curves, owing to their properties of local support, continuity adjustability, and powerful shape representation, have become a crucial mathematical tool for describing complex curves and surfaces in geometric modeling. This study systematically reviews the mathematical theoretical foundation of B-spline curves, including their definition, properties, and the construction methods for knot vectors, thereby establishing a rigorous mathematical basis for subsequent applied research. On this basis, the research focuses on several key techniques involved in the practical application of B-spline curves in geometric modeling, such as core issues of curve fitting, fairing processing, and shape optimization. Through theoretical analysis and practical case validation, the study demonstrates that the rational application of B-spline theory can significantly enhance the fairness quality and modeling flexibility of geometric models, providing effective solutions for the digital design of complex products. This research not only deepens the understanding of the intrinsic mechanisms of B-spline theory in modeling but also holds significant theoretical value and application prospects for promoting the innovative design of high-end manufacturing equipment. Future work will concentrate on exploring the integration of B-splines with other advanced modeling technologies to address more complex industrial design challenges.
Keyword：B-Spline Curves; Geometric Modeling; Curve And Surface Modeling; Computer-Aided Design; Modeling Technology
目录
3.2 B样条曲线在逆向工程与三维扫描数据处理中的应用 – 8 –
第一章 绪论
几何造型作为计算机辅助设计与制造领域的核心技术，其数学基础的完善与造型能力的拓展始终是学术界与工业界关注的焦点。随着数字化设计与智能制造技术的快速发展，几何造型已渗透到工业设计、航空航天、汽车制造、影视动画以及生物医学等众多领域，成为支撑产品全生命周期建模与仿真分析的重要基础。在各类几何表示方法中，Ｂ样条曲线凭借其优良的局部支撑性、连续可调性以及强大的形状表达能力，已成为描述复杂曲线与曲面的关键数学工具，并在非均匀有理Ｂ样条（NURBS）成为工业标准的过程中发挥着理论基石作用。
传统Bezier曲线虽具有形式简洁、易于实现的优点，但在表达复杂形状时需不断增加控制点，且任一控制点的变动均会引起整条曲线的全局性改变，限制了其在精细造型中的应用。Ｂ样条曲线通过引入节点向量与递推定义的基函数，实现了曲线形状的局部控制，不仅有效克服了Bezier方法的缺陷，还显著提升了造型过程的灵活性与效率。此外，Ｂ样条具备变差缩减性、几何不变性与仿射不变性等优良性质，使其能够在不同坐标系与变换条件下保持稳定的几何形态，为多系统协同设计与数据交换提供了可靠基础。
在当前技术背景下，几何造型系统对模型的精度、光顺性以及可编辑性提出了更高要求。Ｂ样条曲线通过灵活配置节点向量与控制顶点，可实现从低阶连续到高阶光滑的过渡，满足工程中对外观美学与物理性能的双重需求。例如，在汽车车身曲面设计中，Ｂ样条能够支持对局部特征进行微调而不影响整体造型；在航空发动机叶片造型中，其高连续性保障了气动性能与结构强度的最优化。与此同时，随着人工智能与优化算法的融合应用，Ｂ样条曲线在逆向工程、自适应拟合和实时渲染等方面也展现出新的发展潜力。
本研究旨在系统梳理Ｂ样条曲线的数学理论基础，深入探讨其在几何造型中的关键技术实现路径，并结合实际应用场景验证其有效性与先进性。通过对曲线拟合、光顺处理与形状优化等核心问题的分析，本文期望为复杂产品的数字化设计提供理论支持与解决方案，推动几何造型技术在高端装备创新设计中的进一步应用。
第二章 B样条曲线理论基础
2.1 B样条曲线的数学定义与基本性质
Ｂ样条曲线的数学定义基于分段多项式基函数的线性组合。给定一个节点向量 \( T = \{t_0, t_1, \dots, t_{m}\} \)，其中节点满足非递减顺序 \( t_i \leq t_{i+1} \)，并设定曲线阶数为 \( k \)（次数为 \( k-1 \)），则第 \( i \) 个Ｂ样条基函数 \( N_{i,k}(t) \) 可通过Cox-deBoor递推公式定义。当 \( k=1 \) 时，基函数为分段常数函数：
对于更高阶次 \( k \geq 2 \)，基函数由递推关系生成：
其中，规定分母为零时对应分式取值为零。该递推过程确保了基函数在节点区间内的局部非零特性。基于这些基函数，Ｂ样条曲线可表示为控制顶点 \( d_i \) 的加权和：
此处，控制顶点 \( d_i \) 为空间中的点坐标，节点向量长度 \( m+1 \) 与控制点数量 \( n+1 \) 满足关系 \( m = n + k \)。节点向量的选取直接影响曲线的连续性、端点行为与局部支撑范围。
Ｂ样条曲线具备若干关键几何性质，这些性质奠定了其在几何造型中的优势地位。局部支撑性是Ｂ样条区别于Bezier曲线的核心特征：每个基函数 \( N_{i,k}(t) \) 仅在区间 \( [t_i, t_{i+k}) \) 上非零，因此调整单一控制顶点 \( d_i \) 仅会影响与之对应的局部曲线段，而不会引起整体形状改变。这一特性极大提升了设计过程的可控性，允许对复杂模型的特定区域进行精细调整而不必重构全局几何。
变差缩减性保证了Ｂ样条曲线的光顺品质，即曲线相对于其控制多边形的振荡幅度更小，使得生成的几何形态更加稳定。几何不变性确保曲线在仿射变换（如平移、旋转、缩放）下保持形状不变，这一性质为跨平台数据交换与协同设计提供了便利。此外，Ｂ样条曲线具有凸包性质：整条曲线必位于其控制顶点构成的凸包内部，这为碰撞检测、边界计算等应用提供了理论依据。
节点向量的构造方式进一步丰富了Ｂ样条的表现能力。均匀Ｂ样条采用等距节点，计算简便但灵活性有限；准均匀Ｂ样条通过在端点设置重复节点使曲线精确插值于首末控制点，更贴合工程实际需求；非均匀Ｂ样条允许节点非等距分布，可实现对曲线局部曲率的精确调控，为NURBS技术奠定了基础。节点重复度直接控制曲线在相应位置的连续性：重复度为 \( r \) 时，曲线在该节点处具有 \( C^{k-1-r} \) 的参数连续性。通过灵活配置节点向量，设计师可在尖锐特征与光滑过渡之间取得平衡，满足不同场景下的造型需求。
Ｂ样条基函数的非负性与单位分解性（即 \( \sum_i N_{i,k}(t) = 1 \)）保证了曲线的数值稳定性与坐标无关性。这些数学特质共同构成了Ｂ样条曲线在几何造型中广泛应用的理论根基，使其成为计算机辅助设计系统中描述复杂曲线与曲面的核心工具。随着造型技术向高精度、自适应方向发展，Ｂ样条理论的严谨性与灵活性将继续支撑其在数字化设计前沿的创新应用。
2.2 B样条曲线的算法实现与计算效率分析
Ｂ样条曲线的算法实现依赖于其数学定义的严密构造，其中Cox-deBoor递推算法是计算基函数的核心方法。该算法通过分层递归方式生成各阶基函数，确保计算过程的数值稳定性。对于给定节点向量 \( T = \{t_0, t_1, \dots, t_{m}\} \) 和阶数 \( k \)，基函数 \( N_{i,k}(t) \) 的计算从常数分段函数开始，逐步组合低阶基函数得到高阶表达式。递推过程中需注意分母为零的特殊情况，此时对应项取零值，以避免数值溢出。该算法的时间复杂度与阶数 \( k \) 和节点数量相关，但由于基函数的局部支撑性，实际计算仅需在参数 \( t \) 所属的节点区间内进行，显著减少了计算量。
在曲线求值过程中，de Boor算法提供了一种高效稳定的方法。该算法将参数 \( t \) 映射到对应的节点区间 \( [t_j, t_{j+1}) \)，并通过迭代线性插值逐步更新控制点，最终得到曲线上的点坐标。de Boor算法不仅避免了直接计算高阶基函数的数值不稳定问题，还充分利用了Ｂ样条的局部性特征，使求值操作仅涉及有限个控制点，提升了实时交互造型的响应速度。此外，该算法天然支持曲线细分与节点插入操作，为自适应建模提供了便利。
节点插入是Ｂ样条曲线编辑中的关键操作，其目标是在不改变曲线形状的前提下增加控制点的密度。Boehm算法通过计算新节点在原节点向量中的位置，生成新的控制点序列，并更新节点向量。这一过程本质上是基函数的重构，使得曲线在局部区域的表达能力得到增强。节点插入算法的时间效率与插入节点的数量和分布密切相关，但在实际应用中，由于仅影响局部区间，其计算开销通常可控。相反，节点删除操作则致力于在保持曲线近似形状的前提下减少控制点，常用于数据压缩与简化，但其数值稳定性较节点插入更为复杂，需结合误差容忍度进行权衡。
曲线升阶是另一项重要技术，旨在提高Ｂ样条曲线的连续性与光滑度，而不改变其几何形态。升阶算法通过重构节点向量并计算新的控制点，使得曲线在保持原有形状的同时获得更高的多项式次数。这一过程在需要对曲线进行光滑度提升的场景中尤为有用，例如在汽车外形设计中，通过升阶处理可使曲面过渡更加自然[1]。然而，升阶操作会增加控制点数量，可能影响后续计算与存储效率，因此需结合实际需求谨慎使用。
在计算效率方面，Ｂ样条算法的性能高度依赖于节点向量的结构与数据访问模式。均匀节点分布下，基函数具有平移不变性，可通过查表法预计算基函数值，大幅提升实时计算效率。非均匀节点虽灵活性更强，但需动态计算基函数，增加了计算负担。为优化性能，常采用空间划分数据结构（如包围盒层次）加速曲线求值与相交测试，尤其在复杂场景如机翼外形参数化设计中，高效的空间查询机制对保障交互式设计流程至关重要[2]。
近年来，随着硬件并行计算能力的发展，Ｂ样条算法的实现开始利用GPU并行特性进行加速。基函数求值、de Boor迭代等计算密集型任务可被分解为线程级并行任务，显著提升大规模曲线网格的处理速度。在建筑机器人路径规划中，Ｂ样条曲线用于平滑轨迹生成，其并行化实现保障了实时运动控制的可行性[3]。同时，内存访问优化亦不容忽视，通过控制点数据的局部性组织，可减少缓存未命中，提升CPU计算效率。
尽管Ｂ样条算法在多数场景下表现高效，但其计算复杂度随曲线阶数升高而增长，尤其在需要高次连续的造型任务中，需平衡计算成本与造型质量。此外，算法数值稳定性是保障造型精度的关键，特别是在节点重复度较高或节点间距极小的情况下，需采用数值鲁棒的插值策略避免舍入误差累积。
总体而言，Ｂ样条曲线的算法实现兼顾了数学严谨性与工程实用性，其局部性特征与模块化计算结构为高效几何造型奠定了坚实基础。未来，随着异构计算与自适应算法的融合，Ｂ样条计算效率有望在保持精度的同时进一步突破，为复杂工业设计提供更强大的支持。
第三章 B样条曲线在几何造型中的关键技术研究
3.1 基于B样条曲线的曲面建模与重构方法
基于B样条曲线的曲面建模与重构方法是几何造型技术体系中的核心环节，其实质是将曲线表达扩展至高维空间，以构建复杂自由曲面。在计算机辅助设计系统中，B样条曲面通常通过张量积形式构造，即由两个参数方向的B样条曲线基函数进行张量积运算生成曲面片。给定控制网格 \( \{d_{ij} \mid i=0,\dots,n; j=0,\dots,m\} \) 与节点向量 \( U = \{u_0, u_1, \dots, u_{n+k}\} \)、\( V = \{v_0, v_1, \dots, v_{m+l}\} \)，B样条曲面的数学表达式为：
其中，\( N_{i,k}(u) \) 与 \( N_{j,l}(v) \) 分别为 \( u \) 方向（阶数 \( k \)）和 \( v \) 方向（阶数 \( l \)）的B样条基函数。该构造方式继承了B样条曲线的局部支撑性、变差缩减性等优良性质，使得曲面编辑可通过调整局部控制顶点实现区域性形变，而无需重构整体几何。
在曲面重构过程中，逆向工程是典型应用场景。通过扫描实物获取的点云数据往往存在噪声与密度不均问题，需经过数据预处理、参数化、拟合等步骤转化为B样条曲面。参数化阶段需为每个数据点分配合适的参数值 \( (u_i, v_i) \)，常用方法包括弦长参数化、向心参数化等，其质量直接影响后续拟合精度。随后，利用最小二乘法或插值算法求解控制顶点，使生成的B样条曲面最佳逼近原始数据。值得注意的是，节点向量的选取对曲面光顺性与精度具有显著影响。非均匀节点分布允许在曲率变化剧烈区域增加控制点密度，从而提升局部拟合能力，正如在汽车外形设计中，通过调整节点向量可实现车身腰线等特征的高精度还原[1]。
为处理非四边域拓扑结构，常采用多片拼接技术。例如，在N边孔洞或复杂边界条件下，可将曲面分割为多个B样条曲面片，并在拼接边界处施加连续性约束（如 \( C^1 \) 或 \( G^1 \) 连续），确保整体曲面光滑过渡。Gregory曲面方法在此基础上进一步推广，通过构造过渡曲面片连接不同拓扑区域，实现几何无缝融合[1]。此外，三角B样条曲面作为张量积形式的补充，通过定义三角域上的基函数，能够更灵活地表达非规则拓扑，在超越曲线曲面绘制中展现出独特优势[4]。
在动态建模与实时编辑中，B样条曲面的局部性支持高效交互操作。设计师可通过拖动控制顶点直观调整曲面形态，系统仅需更新受影响曲面片，大幅提升设计效率。同时，曲面升阶、节点插入等操作允许在不改变形状的前提下增强局部表达能力，适用于需要高连续性的航空翼型或涡轮叶片造型。然而，高阶曲面可能导致控制点数量激增，需结合数据简化算法平衡精度与计算开销。
随着智能制造与数字孪生技术的发展，B样条曲面建模已与优化算法深度结合。例如，在无人机路径规划中，B样条曲面用于生成平滑飞行轨迹，并通过粒子群算法优化控制点以避开障碍[5]。在生物医学领域，B样条曲面重构技术被应用于颅面缺损修复，通过拟合患者CT数据生成植入体几何模型，体现其跨学科应用潜力[6]。
总体而言，基于B样条曲线的曲面建模与重构方法通过严谨的数学框架与灵活的算法设计，为复杂几何的数字化表达提供了可靠支撑。未来，随着自适应建模与人工智能技术的融合，B样条曲面有望在保持数学优良性的同时，进一步拓展其在实时渲染、物理仿真等前沿场景的应用边界。
3.2 B样条曲线在逆向工程与三维扫描数据处理中的应用
逆向工程的核心任务是将物理实体的几何信息转化为精确的数字化模型，而三维扫描技术为此提供了海量的点云数据。Ｂ样条曲线凭借其强大的拟合能力与局部控制特性，在处理这类数据时展现出显著优势。点云数据通常包含噪声、离群点以及密度分布不均等问题，直接利用Ｂ样条曲线进行拟合前，需经过一系列预处理步骤。数据滤波是首要环节，通过统计离群点移除或半径滤波等方法，可有效抑制扫描过程中引入的随机误差，为后续几何重建奠定干净的数据基础。点云精简则针对高密度区域进行采样，在保留关键几何特征的前提下减少数据量，提升计算效率。
在完成数据预处理后，关键一步是为散乱点云分配参数值，即参数化过程。参数化的质量直接影响Ｂ样条曲线拟合的精度与光顺性。常用的弦长参数化法根据相邻点间的欧氏距离累积分配参数，能够较好地反映数据点的空间分布规律；而向心参数化法则进一步考虑了相邻弦长之间的夹角变化，在处理曲率变化剧烈的区域时往往能获得更平滑的参数分布。对于有序点云，参数化过程相对直接；而对于无序散乱点云，则需先通过特征提取或区域生长算法构建数据点的拓扑关系，再进行参数分配。
基于参数化结果，即可构建Ｂ样条曲线拟合的数学模型。其目标是通过调整控制顶点的位置，使生成的Ｂ样条曲线与原始点云之间的误差最小。最小二乘法是常用的拟合策略，通过求解超定方程组得到最优控制顶点。该方法在全局意义上减小拟合误差，但可能对局部噪声较为敏感。为此，可引入正则化项对控制顶点的移动加以约束，避免曲线产生不必要的波动，正如在几何造型中不同目标函数特点研究所指出的，合理的目标函数设计对曲线光顺性至关重要[7]。另一种思路是采用插值法，强制曲线通过所有数据点，但这要求数据本身足够干净，否则易导致曲线振荡。
节点向量的确定是Ｂ样条曲线拟合中的另一个核心问题。均匀分布的节点向量计算简单，但难以适应复杂多变的几何特征。非均匀节点向量则允许根据点云的曲率分布进行自适应调整：在几何特征丰富的区域布置更密集的节点，以提升局部拟合精度；在平坦区域则减少节点数量，避免过度拟合。研究人员提出多种节点选择策略，如基于累积弦长的参数化方法，或利用数据点曲率估计指导节点分布，以期在拟合精度与模型简洁性之间取得平衡。
在实际应用中，Ｂ样条曲线不仅用于拟合单一截面轮廓，更可扩展至曲面重建。通过沿多个截面方向分别拟合Ｂ样条曲线，并利用蒙皮或放样算法生成曲面，能够有效还原复杂物体的三维形貌。例如，在工业零件检测与修复中，通过扫描获得破损区域的点云数据，利用Ｂ样条曲线拟合其完整轮廓，进而生成用于数控加工的修复路径。Majeed等人的研究表明，Ｂ样条与NURBS曲线适用于各类骨折部位的几何重建，且具有较高的用户友好性[6]。
随着硬件扫描精度的不断提升与数据处理算法持续优化，Ｂ样条曲线在逆向工程中的应用正向着自动化、智能化方向发展。结合机器学习技术，可从点云中自动识别特征线与边界，指导Ｂ样条曲线的初始构造与节点布置。此外，将Ｂ样条曲线与优化算法结合，可实现模型误差的自动收敛与光顺度的自适应调整，为高精度数字化建模提供更加高效的解决方案。
第四章 研究总结与展望
本研究系统梳理了Ｂ样条曲线的数学理论基础与核心性质，深入探讨了其在几何造型中的关键技术实现路径。通过理论分析与实例验证，研究证实Ｂ样条曲线凭借其局部支撑性、高阶连续性以及灵活的形状调控能力，已成为复杂曲线曲面建模中不可或缺的工具。在算法层面，高效的递推求值机制与节点编辑操作保障了其实时交互性能；在应用层面，从逆向工程中的点云拟合到曲面重构中的连续拼接，Ｂ样条曲线均展现出强大的几何表达能力与工程实用价值。研究表明，合理运用Ｂ样条理论能够显著提升数字化模型的光顺质量与设计效率，为高端装备创新设计提供坚实支撑。
尽管Ｂ样条曲线技术已相对成熟，其在应对极端复杂拓扑与非规则几何时仍面临挑战。现有张量积曲面建模方法在处理多孔洞、尖角等结构时易导致控制网格冗余，增加计算与存储负担。同时，高精度拟合需求下，节点向量的自适应构造与误差控制策略仍有优化空间。此外，随着智能制造与数字孪生技术的快速发展，几何造型任务对实时性、自动化及跨平台兼容性提出了更高要求，现有Ｂ样条算法需进一步融合智能化技术以提升自适应能力。
展望未来，Ｂ样条曲线研究可沿多个方向深化拓展。一方面，探索其与Ｔ样条、等几何分析等新兴技术的融合，有望突破传统建模中的拓扑限制，实现对复杂几何的更高效表达。另一方面，结合机器学习与优化算法，发展数据驱动的Ｂ样条参数自动优化方法，可降低对专业经验的依赖，提升造型过程的智能化水平。随着异构计算技术的普及，并行化Ｂ样条求值与编辑算法将进一步提升大规模场景下的实时交互性能。此外，在跨学科应用层面，Ｂ样条曲线在生物医学建模、机器人路径规划等领域的潜力有待进一步挖掘，其严谨的数学框架将为解决前沿科学问题提供重要工具。预计至２０３０年，随着几何造型理论与人工智能、高性能计算的深度耦合，Ｂ样条技术将在保持数学优良性的基础上，持续推动工业设计与数字化制造的创新发展。
参考文献
[1] 陈吉清,兰凤崇,林建国.非四边(N边)域曲面造型方法的研究及在汽车外形设计中的应用[J].机械工程学报,2005,(05):69-73.
[2] 王钢林,刘沛清.基于B样条的机翼外形参数化方法研究[J].民用飞机设计与研究,2016,(03):6-15.
[3] Wang ,Dejiang ,Liu,et al.Path Planning for Construction Robot Based on the Improved A* Algorithm and Building Information Modeling[J].BUILDINGS,2025,(05).
[4] 孟令洁.三角B样条函数研究及超越曲线曲面绘制[J].《华北理工大学学报（自然科学版）》,2025,(1):106-115.
[5] 杨火根.改进粒子群算法的无人机B样条曲线路径规划[J].《郑州大学学报(工学版)》,2025,(4):8-15.
[6] Majeed ,Abdul ,Abbas,et al.A Comparative Study of Different Schemes Based on Bezier-like Functions with an Application of Craniofacial Fractures Reconstruction[J].MATHEMATICS,2022,(08).
[7] 张爱武,张彩明.几何造型中不同目标函数特点研究[J].系统仿真学报,2005,(03):674-678.
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